Matemáticas o geometría

El campo de los números reales

Números irracionales y racionales

Números Naturales y Enteros

PRIMER UNIDAD DE APRENDIZAJE

“NUMEROS REALES”

ANTECEDENTES.

            Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las  cosas, nace el concepto de cantidad.

            Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las  cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.

            Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc.

            Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida.

Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:

            “El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”

El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen. La cualidad se denomina número.

             Según la contabilidad de cada objeto, conlleva a “representaciones”, que no depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas, de piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada contabilidad respectiva.

            Hasta ahorita hemos presentado la aparición del número. Sin embargo todo aquello se debe a la necesidad por la cual evoluciona las matemáticas, pues bien, tenemos que ingresar con esto a la aparición de dos grandes ideas en la matemática: El número natural y entero. La matemática evoluciona o cambia, para otros, según el contexto lo permita para dar solución a problemas.

EL NÚMERO NATURAL.

            Desde que nos levantamos a diario para realizar nuestras labores, utilizamos el número natural. Si nosotros no nos percatamos de esto, pues simplemente debemos fijarnos en el número de libros que tiene en su biblioteca, en el número de camisas, o en el número de alumnos de la clase.

            Para contabilizar los objetos, utilizamos en general, los números naturales, por decir 3 pelotas, 100 estrellas, etc.

            También los números naturales nos sirven para ordenar o numerar; por ejemplo decimos América está tercero en la tabla de posiciones  o también Monarcas está en primer lugar en el torneo local. Entonces, los números naturales tiene dos primeras características: la cardinalidad y la ordinalidad.

            Finalmente se estableció el conjunto de los números naturales, con la notación adoptada por la letra N, y es el siguiente: Ν = {0,1,2,3,4,...,100,101,....}

            Se observa que los números están ordenados, entonces podemos relacionarlo con puntos mediante la recta numérica, cumpliendo una relación de punto a número, siendo así un ejemplo de la característica infinita de los naturales.

            Se sabe que los pitagóricos clasificaron los números (naturales) en pares e impares y, probablemente, la designación de números perfectos, para aquellos números como el 6, 28, 496, 8128 que tienen la propiedad de ser iguales a la suma de sus divisores menores que él; luego los números amigos para aquellos como 220 y 284, cada uno de los cuales es la suma de los divisores del otro.

            Los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir. Es por esto que se hace una extensión al conjunto de los naturales, la necesidad de completitud genera el conjunto de los números negativos.

LOS NÚMEROS NEGATIVOS.

            Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época  donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

            Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.

            Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Corresponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente.

            Los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus teoremas del álgebra geométrica, pero este siempre referido a las propiedades de la operación de restar, tales como, por ejemplo, (a – b).(c – d) = ac + bd –ad –bc; dejándolos como restas indicadas.

            Sin embargo fueron los indios los encargados en mostrar reglas numéricas para ello, esto en positivos y negativos. Es así que Brahmagupta, matemático indio, contribuye al álgebra con presentación de soluciones negativas para ecuaciones cuadráticas. La primera vez que aparece sistematizada de los números negativos y del cero es en la obra de Brahmagupta.

            La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos.

            Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.

            John Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinitoum (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.

            Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1) = +1.

            Los números negativos, además complementan o extienden el conjunto de los números naturales, generado por un defecto de los números naturales: la generalidad para la operación de resta y división. Por ejemplo 5 – 9 resulta – 4, que no es natural, no se cumple entonces la propiedad de clausura o cerradura en los naturales.

NUMEROS ENTEROS.

            El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los números naturales junto con los negativos formarán luego el conjunto de los números enteros; es decir los números naturales complementados con los naturales.

Donde:

•      Los enteros positivos (positivos en el gráfico), se denota con Ζ+.

•      Los enteros negativos (negativos en el gráfico), se denota con Ζ−.

•      El cero no tiene signo, es neutro.

            La distancia del cero a un número entero positivo +a, será la misma que la de un negativo –a; ambos entonces de igual magnitud. Así esto es denominado como valor absoluto.

            El cero es aquel número entero que no posee ningún signo respectivo, vale decir no es positivo ni negativo; más aún es el nexo entre estos dos.

Esquemáticamente:

            Entonces los números enteros se representan por Z y está formado por los números naturales y sus “opuestos” (los números negativos). Esto es: Ζ = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

NÚMEROS RACIONALES.

            En el Antiguo Egipto ya se utilizaban aquellos cálculos cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario.

            Los egipcios las escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia.

            El jeroglífico de una boca abierta denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.

            Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

            Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

            En el siglo XIII Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

Construcción de los números racionales.

·         Consideremos las pareja de números enteros (a,b) donde b ≠ 0.

·         a/b denota (a,b), de donde a se le llama numerador  y b se le llama denominador.

·         Al conjunto de estos números se le denota por la letra Q.

            Los elementos de este conjunto son aquellos números  que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, siendo el divisor diferente de cero.

                                   Q = {a/b| a ϵ Z, b ϵ Z, b ≠ 0}

            Todo número entero puede representarse como un cociente, que se puede expresar en su forma más simple utilizando como divisor a la unidad así:

Por tanto, se puede decir que todo número entero es un número racional.

            En la práctica, dadas las dimensiones del segmento que se a tomado como unidad, se hace una localización aproximada de los números racionales sobre la recta real.

Por ejemplo:    El número racional ½ nos indica que el entero se divide en dos partes, de las cuales se toma una.

            De la misma manera se puede proceder en la parte negativa de la recta real para localizar los puntos asociados a números racionales negativos.

Un teorema particularmente importante para este estudio establece:

            “A todo número racional le corresponde una expresión decimal periódica y toda expresión decimal periódica es igual a un número racional”

            En teoría de conjuntos se establece y demuestra: dos conjuntos A y B son iguales si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.

            “El conjunto A es igual al conjunto B si y sólo si el conjunto A es subconjunto del conjunto B y el conjunto B es subconjunto del conjunto A”

Representación decimal de un número racional.

            Cualquier número racional se puede expresar como un número entero o decimal sin más que hacer la división entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan.

Según el tipo de expresión decimal obtenida los números racionales se clasifican como siguen:

•      Números enteros. No tienen ninguna cifra decimal, es decir, la división entera (sin sacar cifras decimales) entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan es exacta.

•      Número decimal. Tiene alguna cifra decimal, es decir, la división entera entre el numerador  y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan no es exacta.

Según el número de cifras decimales se distinguen:

•      Número decimal finito o exacto. Tiene un número finito de cifras decimales, es decir, al realizar la división entre el numerador y el denominador se obtiene resto cero.

•      Número decimal periódico. Tiene un número infinito de cifras decimales, pero hay un bloque de ellas llamado periodo que se repite indefinidamente y que se representa bajo el símbolo “ ”; es decir, al realizar la división entre el numerador y el denominador nunca se obtiene resto cero y, por tanto, la división no termina nunca.

Los números decimales periódicos, pueden ser de dos tipos:

•      Número decimal periódico puro: En este el periodo aparece inmediatamente después del punto decimal.

•      Número decimal periódico mixto: El periodo no aparece inmediatamente después del punto decimal. En este caso se llama anteperiodo a la parte decimal anterior al periodo, es decir, a los números que hay entre el punto decimal y el periodo.

•      Los decimales también se pueden conocer de las siguientes maneras:  fracciones propias, es una fracción, distinta de cero, en la cual su numerador es menor que su denominador. En consecuencia, una fracción propia tiene un valor menor que la unidad.

Una fracción propia da cuenta de la idea de una porción o parte de un todo. Por ejemplo, en la expresión "tres cuartos de la superficie de la Tierra son agua", o "sólo la mitad de los asistentes pudo participar del concurso". De ahí se da la relación a un porcentaje.

El producto entre dos fracciones propias es siempre una fracción propia.

Fracciones impropias son todas aquellas fracciones que pueden convertirse en la suma de un número natural y una fracción propia. Por tanto, las fracciones impropias son siempre iguales o mayores que la unidad y por consiguiente, en ellas el numerador es igual o mayor que el denominador. Siendo el numerador y el denominador números naturales.

NÚMEROS IRRACIONALES.

            Los números irracionales surgen de la imposibilidad de resolver ciertos problemas en los números racionales.

            Por ejemplo: si se quiere calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, esto no es posible hacerlo en el conjunto de los números racionales, ya que por el Teorema de Pitágoras se ha de cumplir que:

            De donde √2 no es un número racional puesto que no se puede expresar como una fracción, en otras palabras, la expresión decimal de √2 tiene infinitas cifras decimales.

            El conjunto de números irracionales se representa por la letra I y está formado por todos los números decimales cuya parte decimal tienen infinitas cifras no periódicas, es decir, por todos los números que no se pueden representar por el cociente de dos números enteros.

No existe un número que sea racional e irracional

NÚMEROS REALES.

            Como se señalo anteriormente, la necesidad de resolver diversos problemas de origen aritmético y geométrico lleva a ir ampliando sucesivamente los conjuntos numéricos.

            A partir de los números racionales y los irracionales se define un nuevo conjunto al que se denomina conjunto de números reales.

            El conjunto de los números Reales, es la unión del conjunto de números racionales y el conjunto de los números irracionales.

            Es inmediato que dado un número Real cualquiera o bien es racional o bien es irracional ya que la intersección de Q e I es vacía.

Operaciones en el conjunto de números reales.

            Para la introducción formal, se parte del conocimiento de las operaciones binarias de adición y multiplicación, por las cuales a cada pareja de números reales se les asocia un número real llamado suma (+) y producto (x), respectivamente, y de que está familiarizado con el uso del símbolo igual (=).

            Los siguientes axiomas son proposiciones formales para las propiedades de la adición y multiplicación en R.

Axiomas de la adición.

            Cerradura:

            Para todo a y b en R, (a + b) está en R y a + b es única.

            El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

Asociativa:

            Para todo a, b y c en R.

            (a + b) + c = a + (b + c)

            (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6

            Existencia del idéntico:

            Existe en R un único elemento cero (0), con la propiedad de que para todo a  en R, a + 0 = a y 0 + a = a.

            5 + 0 = 0 + 5 = 5

Existencia de los inversos:

            Para cada a en R, existe un elemento –a en R tal que, a + (-a) = 0

                         (-a) + a = 0

                        5 + (-5) = 0

                        (-5) + 5 = 0

           

            Conmutatividad:

            Para todo a y b en R

            a + b = b + a

            2 + 3 = 3 + 2 = 5

Axiomas de la multiplicación:

            Para todo a y b en R, ab está en R y ab es único.

            El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

Asociativa:

            Para todo a, b y c en R,

            (ab)c = a(bc)

            (2x3)4 = 2(3x4) = 24

           

Existencia del idéntico:

            Existe en R un único elemento 1 (1≠0) con la propiedad de que para todo a en R, tal que 1(a)= a y a(1) = a

            1(5) = 5 y 5(1) = 5

Existencia de los inversos:

            Para cada a en R, excepto 0, existe un elemento     en R tal que (a)   = 1 y      (a) =1

Conmutatividad:

            Para todo a y b en R, tal que ab = ba

El número     se le llama inverso multiplicativo o recíproco de a. Así, el inverso multiplicativo de 4 es     y el de    es 4. Se puede demostrar que el inverso multiplicativo de un número es único.

Axioma distributivo de la multiplicación respecto a la adición.

            a(b + c) = ab + ac

            (b + c)a = ba + ca

Propiedades del orden de los números reales.

            La correspondencia biunívoca que se establece entre los números reales y los puntos de una recta, nos permiten notar otra propiedad fundamental del conjunto de los números reales.

            La existencia de un ordenamiento que se indica con el símbolo < (se lee “es menor que”). Por ejemplo: -1<4, se representa sobre la recta numérica indicando el punto correspondiente a -1 a la izquierda de la gráfica de 4.

Axioma del orden.

Axioma de comparación:

            Para todo a y b en R, una y sólo una delas siguientes proposiciones es verdadera:

            a < b, a = b, b < a

Propiedad transitiva del orden:

            Si a < b y b < c, entonces a < c

            La conjunción “a < b y b < c” frecuentemente se escribe en la forma a < b < c, que se lee “a es menor que b que es menor que c”

Propiedad aditiva del orden:

            Para todo a, b y c en R.

            Si a < b, entonces a + c < b + c

            Este axioma asegura que al sumar el mismo número real a cada miembro de una desigualdad verdadera se obtiene una desigualdad verdadera.

            Un número real c para el cual es verdadera la proposición “0 < c”, se dice que es un número positivo; si “c < 0”, se dice que c es un número negativo.

Propiedad multiplicativa del orden:

            Para todo a y b en R y todos los números positivos c en R.

            Si a < b, entonces ac < bc y ca < cb.

            Este axioma garantiza que al multiplicarse cada miembro de una desigualdad verdadera por un mismo número positivo se obtiene una desigualdad verdadera.

REFERENCIAS.

1.      TORRES NINAHUANCA CARLOS. Números enteros. Estudiante universitario de la facultad de educación, en la especialidad de matemática y física, de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Lima. Perú.

2.      Revista Matemática Digital Mendom@tic@. Sistemas numéricos. Revista No. 18-Abril 2009. Sección Currículum y Matemática. www.mendomatica.mendoza.edu.ar

3.      JARNE GLORIA, MINGUILLON ESPERANZA, ZABAL TRINIDAD. Números Racionales y Números Irracionales. Curso Básico de Matemáticas para Estudiantes de Económicas y Empresariales. Unidad didáctica 4. Números Reales y Números Complejos.

4.      ORTIZ CAMPOS FRANCISCO J. Matemáticas I. Publicaciones Cultural. 2006.

5.      GARZA OLVERA BENGAMIN. Matemáticas I. Aritmética y Álgebra. Colección DGETI.