SEGUNDA UNIDAD DE APRENDIZAJE LENGUAJE ALGEBRAICO

ANTECEDENTES.

            La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax² + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron hábiles de solucionar ciertas ecuaciones indeterminadas. Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro “Las aritméticas de Diofante” es de suficiente más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”.

En el siglo IX, el matemático Al-Jwarizmi; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar la x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x² + y² = z², y xz = y². En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.

El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica     x³ + 2x² + cx = d. A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación.

Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas.

DEFINICIÓN.

ALGEBRA.

•      De acuerdo a Garza Olvera, es una rama de las matemáticas que generalizan los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas.

•      Ortiz Campos define al algebra, como la parte de las matemáticas que trata del cálculo de cantidades representadas por letras.

INTRODUCCIÓN.

El uso de símbolos para simplificar el lenguaje es de gran importancia en las matemáticas.

            ϵ “pertenece a”                       Δ “triángulo”

            ≠ “no es igual a”                     // “paralela a”

            ≡ “idéntico a”                         ≈ “semejante a”

            √ “raíz cuadrada”                   ± “más menos”

            ┴ “perpendicular a”               ˃ “mayor que”

Las letras o literales se utilizan para representar números y cantidades cualesquiera, conjuntos, figuras geométricas, relaciones, etc.

Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

En la aritmética la solución de problemas se realiza siempre en forma particular, ya que únicamente se da solución al problema, planteado pues al manejar números no es posible establecer principios generales en los procedimientos.

Se hace comprender que en una gran mayoría de aspectos aritméticos, se requiere de la aplicación del álgebra con el fin de establecer reglas y procedimientos que faciliten la solución de problemas similares.

Desde la primaria se conocen expresiones en las que se emplean literales: por ejemplo, para calcular el área de un triángulo se utiliza la fórmula:

En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposiciones con lenguaje algebraico.

Recordemos el nombre del resultado de cada una de las cuatro operaciones fundamentales.

De la adición es suma; de la sustracción, resta o diferencia; de la multiplicación, producto; y de la división, cociente.

• Algunas palabras que indican adición son:

            suma                   aumentar                 mayor que

            más                     incrementar             más grande que

·         Algunas palabras que indican sustracción son:

            resta                        menos                 menor que

            diferencia               disminuir             perder

·         Algunas palabras que indican multiplicación son:

           producto                      veces               triple

           multiplicado               doble               cuádruple

·         Algunas palabras que indican división son:

           cociente                       mitad

           dividido entre             tercera             razón

LENGUAJE ALGEBRAICO.

Es una representación que se aplica a un conjunto de números y literales que conforman una o más operaciones algebraicas.

EJEMPLOS.

Expresión verbal	Expresión algebraica
Un número cualquiera	x
La suma de dos números	x + y
La diferencia de dos números	x – y
El producto de dos números	xy
El cociente de dos números
El cubo de un número	x3
El doble del cubo de un número	2x³
La suma de los cuadrados de dos números	x² + y²
El cuadrado de la suma de dos números	(x + y)²
¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8?	x + 3 = 8
¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13?	x – 5 = 13

SIGNOS ALGEBRAICOS DE OPERACIÓN.

                 Como se mencionó anteriormente, en álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética: suma, resta, multiplicación, división, elevación de potencias y extracción de raíces.

Los signos que se utilizan para dichas operaciones son:

a)      Para la suma (+)

b)      Para la sustracción (-)

c)      Para la multiplicación (x)

                 También en lugar del signo (x), suele colocarse un punto (.) entre los factores y a veces se indica entre paréntesis a los factores. Entre los factores literales, o entre un factor literal y uno numérico el signo normalmente se omite.

d)     Para la división (∕ )

e)      Elevación a potencia.

                 El signo de elevación a potencia es el exponente, colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad llamada base, se toma como factor, cuando una letra o cantidad no tiene exponente, su exponente será la unidad.

f)       Extracción de raíces.

                 El signo de raíz es n, llamado radical y dentro de él se escribe la cantidad a la cual se le extraerá raíz, esta cantidad recibe el nombre de subradical y la (n) recibe el nombre de índice del radical.

SIGNOS ALGEBRAICOS DE RELACIÓN.

En álgebra hay tres signos que sirven para relacionar a las cantidades:

1)      = igual a

2)      > mayor que

3)      < menor que

SIGNOS ALGEBRAICOS DE AGRUPACIÓN.

Entre los signos de agrupación tenemos:

1. ( ) Paréntesis Circular
2. [ ] Paréntesis Rectangular o Corchetes
3. { } Llaves
4. | | Barra o Vínculo

TÉRMINO ALGEBRAICO.

Un término algebraico o monomio es un número o un producto de dos o más números.

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO.

COEFICIENTE Numérico ↨ Literal	Es el factor numérico o no numérico que se escribe delante del monomio, si el monomio no lleva escrito el coeficiente se sobre entiende que este es igual a 1.            5xy → 5                  mxy → m                  x²y³ → 1
SIGNO (+) (-)	Serán cantidades positivas aquellas que vayan precedidas de un signo (+), y negativas, las que vayan precedidas de un signo (-). Los términos que no vayan precedidos de un signo se tomarán como positivo (+).
PARTE LITERAL	La base o parte literal, la constituyen las letras que existan en el término.
GRADO DE UN TÉRMINO	El grado de un término puede ser de dos tipos, absoluto o relativo a una literal.
Absoluto	Es la suma de los exponentes de las literales.
Relativo	Es el mayor exponente que tenga la literal considerada.

|                Cuando no se indica la variable o variables respecto a las cuales se considera el grado, se da por entendido que el grado se refiere a la suma de los exponentes de todas las variables, “GRADO ABSOLUTO”.

CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS.

TERMINO ENTERO.

Es aquel que no tiene denominador literal.

TERMINO FRACCIONARIO.

Es aquel que contiene en el denominador  una literal.

TERMINO RACIONAL.

Es aquel que no está afectado por un radical y puede ser entero o fraccionario. No tiene radical.

TERMINO IRRACIONAL.

Es aquel que si está afectado por un radical y puede ser entero o fraccionario. Si tiene radical.

TERMINOS HOMOGÉNEOS.

Son aquellos que tienen el mismo grado absoluto.

TERMINOS HETEROGÉNEOS.

Son aquellos que tienen distinto grado absoluto.

TERMINO SEMEJANTE.

Son aquellos que tienen los mismos factores literales, variando únicamente su coeficiente.

TERMINO NO SEMEJANTE.

Son aquellos que tienen diferentes factores literales.

TERMINO NULO.

Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo valor absoluto es cero ó nulo.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS.

                 Las expresiones algebraicas se clasifican se clasifican de acuerdo al número de términos en monomios y polinomios.

MONOMIO.

                 Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y letras están ligados por la operación de multiplicar.

POLINOMIO.

                 Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o más monomios.

                 Es una expresión algebraica que consta de dos o más monomios que se relacionan con los signos de (+) o (-).

Los polinomios de acuerdo al número de términos pueden ser:

                 Binomio: Polinomio de dos términos.

                 Trinomio: polinomio de tres términos.

ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

                 Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de letra ordenatriz.

Esto simplifica muchas veces las operaciones con polinomios.

                 Así, por ejemplo, el polinomio  está ordenado en orden ascendente con respecto a la letra ordenatriz “y” y está ordenado en orden descendente con respecto a la letra ordenatriz “x”.

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

                 Proceso que consiste en sustituir valores numéricos asignado para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.

BIBLIOGRAFÍA.

1.      ORTIZ CAMPOS FRANCISCO J. Matemáticas I. Publicaciones Cultural. 2006.

2.      GARZA OLVERA BENGAMIN. Matemáticas I. Aritmética y Álgebra. Colección

DGETI.

3.      CARRILLO NAVARRO FRANCISCO A. Álgebra India. Apuntes de la historia de las Matemáticas. No. 1, Vol. 2, 2003.

4.      INFANTE MURILLO J. Definiciones básicas, exponentes y radicales. Algebra Nve Medio Superior.

5.      ORTEGA ORTEGA JOSE A. Historia del Álgebra. Departamento de Matemáticas.