SEGUNDA UNIDAD DE APRENDIZAJE LENGUAJE ALGEBRAICO

ANTECEDENTES.

            La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax² + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron hábiles de solucionar ciertas ecuaciones indeterminadas. Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro “Las aritméticas de Diofante” es de suficiente más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”.

En el siglo IX, el matemático Al-Jwarizmi; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar la x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x² + y² = z², y xz = y². En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.

El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica     x³ + 2x² + cx = d. A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación.

Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas.

DEFINICIÓN.

ALGEBRA.

•      De acuerdo a Garza Olvera, es una rama de las matemáticas que generalizan los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas.

•      Ortiz Campos define al algebra, como la parte de las matemáticas que trata del cálculo de cantidades representadas por letras.

INTRODUCCIÓN.

El uso de símbolos para simplificar el lenguaje es de gran importancia en las matemáticas.

            ϵ “pertenece a”                       Δ “triángulo”

            ≠ “no es igual a”                     // “paralela a”

            ≡ “idéntico a”                         ≈ “semejante a”

            √ “raíz cuadrada”                   ± “más menos”

            ┴ “perpendicular a”               ˃ “mayor que”

Las letras o literales se utilizan para representar números y cantidades cualesquiera, conjuntos, figuras geométricas, relaciones, etc.

Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

En la aritmética la solución de problemas se realiza siempre en forma particular, ya que únicamente se da solución al problema, planteado pues al manejar números no es posible establecer principios generales en los procedimientos.

Se hace comprender que en una gran mayoría de aspectos aritméticos, se requiere de la aplicación del álgebra con el fin de establecer reglas y procedimientos que faciliten la solución de problemas similares.

Desde la primaria se conocen expresiones en las que se emplean literales: por ejemplo, para calcular el área de un triángulo se utiliza la fórmula:

En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposiciones con lenguaje algebraico.

Recordemos el nombre del resultado de cada una de las cuatro operaciones fundamentales.

De la adición es suma; de la sustracción, resta o diferencia; de la multiplicación, producto; y de la división, cociente.

• Algunas palabras que indican adición son:

            suma                   aumentar                 mayor que

            más                     incrementar             más grande que

·         Algunas palabras que indican sustracción son:

            resta                        menos                 menor que

            diferencia               disminuir             perder

·         Algunas palabras que indican multiplicación son:

           producto                      veces               triple

           multiplicado               doble               cuádruple

·         Algunas palabras que indican división son:

           cociente                       mitad

           dividido entre             tercera             razón

LENGUAJE ALGEBRAICO.

Es una representación que se aplica a un conjunto de números y literales que conforman una o más operaciones algebraicas.

EJEMPLOS.

Expresión verbal	Expresión algebraica
Un número cualquiera	x
La suma de dos números	x + y
La diferencia de dos números	x – y
El producto de dos números	xy
El cociente de dos números
El cubo de un número	x3
El doble del cubo de un número	2x³
La suma de los cuadrados de dos números	x² + y²
El cuadrado de la suma de dos números	(x + y)²
¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8?	x + 3 = 8
¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13?	x – 5 = 13

SIGNOS ALGEBRAICOS DE OPERACIÓN.

                 Como se mencionó anteriormente, en álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética: suma, resta, multiplicación, división, elevación de potencias y extracción de raíces.

Los signos que se utilizan para dichas operaciones son:

a)      Para la suma (+)

b)      Para la sustracción (-)

c)      Para la multiplicación (x)

                 También en lugar del signo (x), suele colocarse un punto (.) entre los factores y a veces se indica entre paréntesis a los factores. Entre los factores literales, o entre un factor literal y uno numérico el signo normalmente se omite.

d)     Para la división (∕ )

e)      Elevación a potencia.

                 El signo de elevación a potencia es el exponente, colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad llamada base, se toma como factor, cuando una letra o cantidad no tiene exponente, su exponente será la unidad.

f)       Extracción de raíces.

                 El signo de raíz es n, llamado radical y dentro de él se escribe la cantidad a la cual se le extraerá raíz, esta cantidad recibe el nombre de subradical y la (n) recibe el nombre de índice del radical.

SIGNOS ALGEBRAICOS DE RELACIÓN.

En álgebra hay tres signos que sirven para relacionar a las cantidades:

1)      = igual a

2)      > mayor que

3)      < menor que

SIGNOS ALGEBRAICOS DE AGRUPACIÓN.

Entre los signos de agrupación tenemos:

1. ( ) Paréntesis Circular
2. [ ] Paréntesis Rectangular o Corchetes
3. { } Llaves
4. | | Barra o Vínculo

TÉRMINO ALGEBRAICO.

Un término algebraico o monomio es un número o un producto de dos o más números.

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO.

COEFICIENTE Numérico ↨ Literal	Es el factor numérico o no numérico que se escribe delante del monomio, si el monomio no lleva escrito el coeficiente se sobre entiende que este es igual a 1.            5xy → 5                  mxy → m                  x²y³ → 1
SIGNO (+) (-)	Serán cantidades positivas aquellas que vayan precedidas de un signo (+), y negativas, las que vayan precedidas de un signo (-). Los términos que no vayan precedidos de un signo se tomarán como positivo (+).
PARTE LITERAL	La base o parte literal, la constituyen las letras que existan en el término.
GRADO DE UN TÉRMINO	El grado de un término puede ser de dos tipos, absoluto o relativo a una literal.
Absoluto	Es la suma de los exponentes de las literales.
Relativo	Es el mayor exponente que tenga la literal considerada.

|                Cuando no se indica la variable o variables respecto a las cuales se considera el grado, se da por entendido que el grado se refiere a la suma de los exponentes de todas las variables, “GRADO ABSOLUTO”.

CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS.

TERMINO ENTERO.

Es aquel que no tiene denominador literal.

TERMINO FRACCIONARIO.

Es aquel que contiene en el denominador  una literal.

TERMINO RACIONAL.

Es aquel que no está afectado por un radical y puede ser entero o fraccionario. No tiene radical.

TERMINO IRRACIONAL.

Es aquel que si está afectado por un radical y puede ser entero o fraccionario. Si tiene radical.

TERMINOS HOMOGÉNEOS.

Son aquellos que tienen el mismo grado absoluto.

TERMINOS HETEROGÉNEOS.

Son aquellos que tienen distinto grado absoluto.

TERMINO SEMEJANTE.

Son aquellos que tienen los mismos factores literales, variando únicamente su coeficiente.

TERMINO NO SEMEJANTE.

Son aquellos que tienen diferentes factores literales.

TERMINO NULO.

Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo valor absoluto es cero ó nulo.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS.

                 Las expresiones algebraicas se clasifican se clasifican de acuerdo al número de términos en monomios y polinomios.

MONOMIO.

                 Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y letras están ligados por la operación de multiplicar.

POLINOMIO.

                 Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o más monomios.

                 Es una expresión algebraica que consta de dos o más monomios que se relacionan con los signos de (+) o (-).

Los polinomios de acuerdo al número de términos pueden ser:

                 Binomio: Polinomio de dos términos.

                 Trinomio: polinomio de tres términos.

ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

                 Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de letra ordenatriz.

Esto simplifica muchas veces las operaciones con polinomios.

                 Así, por ejemplo, el polinomio  está ordenado en orden ascendente con respecto a la letra ordenatriz “y” y está ordenado en orden descendente con respecto a la letra ordenatriz “x”.

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

                 Proceso que consiste en sustituir valores numéricos asignado para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.

BIBLIOGRAFÍA.

1.      ORTIZ CAMPOS FRANCISCO J. Matemáticas I. Publicaciones Cultural. 2006.

2.      GARZA OLVERA BENGAMIN. Matemáticas I. Aritmética y Álgebra. Colección

DGETI.

3.      CARRILLO NAVARRO FRANCISCO A. Álgebra India. Apuntes de la historia de las Matemáticas. No. 1, Vol. 2, 2003.

4.      INFANTE MURILLO J. Definiciones básicas, exponentes y radicales. Algebra Nve Medio Superior.

5.      ORTEGA ORTEGA JOSE A. Historia del Álgebra. Departamento de Matemáticas.

Matemáticas o geometría

El campo de los números reales

Números irracionales y racionales

Números Naturales y Enteros

PRIMER UNIDAD DE APRENDIZAJE

“NUMEROS REALES”

ANTECEDENTES.

            Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las  cosas, nace el concepto de cantidad.

            Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las  cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.

            Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc.

            Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida.

Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:

            “El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”

El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen. La cualidad se denomina número.

             Según la contabilidad de cada objeto, conlleva a “representaciones”, que no depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas, de piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada contabilidad respectiva.

            Hasta ahorita hemos presentado la aparición del número. Sin embargo todo aquello se debe a la necesidad por la cual evoluciona las matemáticas, pues bien, tenemos que ingresar con esto a la aparición de dos grandes ideas en la matemática: El número natural y entero. La matemática evoluciona o cambia, para otros, según el contexto lo permita para dar solución a problemas.

EL NÚMERO NATURAL.

            Desde que nos levantamos a diario para realizar nuestras labores, utilizamos el número natural. Si nosotros no nos percatamos de esto, pues simplemente debemos fijarnos en el número de libros que tiene en su biblioteca, en el número de camisas, o en el número de alumnos de la clase.

            Para contabilizar los objetos, utilizamos en general, los números naturales, por decir 3 pelotas, 100 estrellas, etc.

            También los números naturales nos sirven para ordenar o numerar; por ejemplo decimos América está tercero en la tabla de posiciones  o también Monarcas está en primer lugar en el torneo local. Entonces, los números naturales tiene dos primeras características: la cardinalidad y la ordinalidad.

            Finalmente se estableció el conjunto de los números naturales, con la notación adoptada por la letra N, y es el siguiente: Ν = {0,1,2,3,4,...,100,101,....}

            Se observa que los números están ordenados, entonces podemos relacionarlo con puntos mediante la recta numérica, cumpliendo una relación de punto a número, siendo así un ejemplo de la característica infinita de los naturales.

            Se sabe que los pitagóricos clasificaron los números (naturales) en pares e impares y, probablemente, la designación de números perfectos, para aquellos números como el 6, 28, 496, 8128 que tienen la propiedad de ser iguales a la suma de sus divisores menores que él; luego los números amigos para aquellos como 220 y 284, cada uno de los cuales es la suma de los divisores del otro.

            Los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir. Es por esto que se hace una extensión al conjunto de los naturales, la necesidad de completitud genera el conjunto de los números negativos.

LOS NÚMEROS NEGATIVOS.

            Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época  donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

            Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.

            Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Corresponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente.

            Los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus teoremas del álgebra geométrica, pero este siempre referido a las propiedades de la operación de restar, tales como, por ejemplo, (a – b).(c – d) = ac + bd –ad –bc; dejándolos como restas indicadas.

            Sin embargo fueron los indios los encargados en mostrar reglas numéricas para ello, esto en positivos y negativos. Es así que Brahmagupta, matemático indio, contribuye al álgebra con presentación de soluciones negativas para ecuaciones cuadráticas. La primera vez que aparece sistematizada de los números negativos y del cero es en la obra de Brahmagupta.

            La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos.

            Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.

            John Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinitoum (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.

            Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1) = +1.

            Los números negativos, además complementan o extienden el conjunto de los números naturales, generado por un defecto de los números naturales: la generalidad para la operación de resta y división. Por ejemplo 5 – 9 resulta – 4, que no es natural, no se cumple entonces la propiedad de clausura o cerradura en los naturales.

NUMEROS ENTEROS.

            El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los números naturales junto con los negativos formarán luego el conjunto de los números enteros; es decir los números naturales complementados con los naturales.

Donde:

•      Los enteros positivos (positivos en el gráfico), se denota con Ζ+.

•      Los enteros negativos (negativos en el gráfico), se denota con Ζ−.

•      El cero no tiene signo, es neutro.

            La distancia del cero a un número entero positivo +a, será la misma que la de un negativo –a; ambos entonces de igual magnitud. Así esto es denominado como valor absoluto.

            El cero es aquel número entero que no posee ningún signo respectivo, vale decir no es positivo ni negativo; más aún es el nexo entre estos dos.

Esquemáticamente:

            Entonces los números enteros se representan por Z y está formado por los números naturales y sus “opuestos” (los números negativos). Esto es: Ζ = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

NÚMEROS RACIONALES.

            En el Antiguo Egipto ya se utilizaban aquellos cálculos cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario.

            Los egipcios las escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia.

            El jeroglífico de una boca abierta denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.

            Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

            Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

            En el siglo XIII Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

Construcción de los números racionales.

·         Consideremos las pareja de números enteros (a,b) donde b ≠ 0.

·         a/b denota (a,b), de donde a se le llama numerador  y b se le llama denominador.

·         Al conjunto de estos números se le denota por la letra Q.

            Los elementos de este conjunto son aquellos números  que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, siendo el divisor diferente de cero.

                                   Q = {a/b| a ϵ Z, b ϵ Z, b ≠ 0}

            Todo número entero puede representarse como un cociente, que se puede expresar en su forma más simple utilizando como divisor a la unidad así:

Por tanto, se puede decir que todo número entero es un número racional.

            En la práctica, dadas las dimensiones del segmento que se a tomado como unidad, se hace una localización aproximada de los números racionales sobre la recta real.

Por ejemplo:    El número racional ½ nos indica que el entero se divide en dos partes, de las cuales se toma una.

            De la misma manera se puede proceder en la parte negativa de la recta real para localizar los puntos asociados a números racionales negativos.

Un teorema particularmente importante para este estudio establece:

            “A todo número racional le corresponde una expresión decimal periódica y toda expresión decimal periódica es igual a un número racional”

            En teoría de conjuntos se establece y demuestra: dos conjuntos A y B son iguales si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.

            “El conjunto A es igual al conjunto B si y sólo si el conjunto A es subconjunto del conjunto B y el conjunto B es subconjunto del conjunto A”

Representación decimal de un número racional.

            Cualquier número racional se puede expresar como un número entero o decimal sin más que hacer la división entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan.

Según el tipo de expresión decimal obtenida los números racionales se clasifican como siguen:

•      Números enteros. No tienen ninguna cifra decimal, es decir, la división entera (sin sacar cifras decimales) entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan es exacta.

•      Número decimal. Tiene alguna cifra decimal, es decir, la división entera entre el numerador  y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan no es exacta.

Según el número de cifras decimales se distinguen:

•      Número decimal finito o exacto. Tiene un número finito de cifras decimales, es decir, al realizar la división entre el numerador y el denominador se obtiene resto cero.

•      Número decimal periódico. Tiene un número infinito de cifras decimales, pero hay un bloque de ellas llamado periodo que se repite indefinidamente y que se representa bajo el símbolo “ ”; es decir, al realizar la división entre el numerador y el denominador nunca se obtiene resto cero y, por tanto, la división no termina nunca.

Los números decimales periódicos, pueden ser de dos tipos:

•      Número decimal periódico puro: En este el periodo aparece inmediatamente después del punto decimal.

•      Número decimal periódico mixto: El periodo no aparece inmediatamente después del punto decimal. En este caso se llama anteperiodo a la parte decimal anterior al periodo, es decir, a los números que hay entre el punto decimal y el periodo.

•      Los decimales también se pueden conocer de las siguientes maneras:  fracciones propias, es una fracción, distinta de cero, en la cual su numerador es menor que su denominador. En consecuencia, una fracción propia tiene un valor menor que la unidad.

Una fracción propia da cuenta de la idea de una porción o parte de un todo. Por ejemplo, en la expresión "tres cuartos de la superficie de la Tierra son agua", o "sólo la mitad de los asistentes pudo participar del concurso". De ahí se da la relación a un porcentaje.

El producto entre dos fracciones propias es siempre una fracción propia.

Fracciones impropias son todas aquellas fracciones que pueden convertirse en la suma de un número natural y una fracción propia. Por tanto, las fracciones impropias son siempre iguales o mayores que la unidad y por consiguiente, en ellas el numerador es igual o mayor que el denominador. Siendo el numerador y el denominador números naturales.

NÚMEROS IRRACIONALES.

            Los números irracionales surgen de la imposibilidad de resolver ciertos problemas en los números racionales.

            Por ejemplo: si se quiere calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, esto no es posible hacerlo en el conjunto de los números racionales, ya que por el Teorema de Pitágoras se ha de cumplir que:

            De donde √2 no es un número racional puesto que no se puede expresar como una fracción, en otras palabras, la expresión decimal de √2 tiene infinitas cifras decimales.

            El conjunto de números irracionales se representa por la letra I y está formado por todos los números decimales cuya parte decimal tienen infinitas cifras no periódicas, es decir, por todos los números que no se pueden representar por el cociente de dos números enteros.

No existe un número que sea racional e irracional

NÚMEROS REALES.

            Como se señalo anteriormente, la necesidad de resolver diversos problemas de origen aritmético y geométrico lleva a ir ampliando sucesivamente los conjuntos numéricos.

            A partir de los números racionales y los irracionales se define un nuevo conjunto al que se denomina conjunto de números reales.

            El conjunto de los números Reales, es la unión del conjunto de números racionales y el conjunto de los números irracionales.

            Es inmediato que dado un número Real cualquiera o bien es racional o bien es irracional ya que la intersección de Q e I es vacía.

Operaciones en el conjunto de números reales.

            Para la introducción formal, se parte del conocimiento de las operaciones binarias de adición y multiplicación, por las cuales a cada pareja de números reales se les asocia un número real llamado suma (+) y producto (x), respectivamente, y de que está familiarizado con el uso del símbolo igual (=).

            Los siguientes axiomas son proposiciones formales para las propiedades de la adición y multiplicación en R.

Axiomas de la adición.

            Cerradura:

            Para todo a y b en R, (a + b) está en R y a + b es única.

            El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

Asociativa:

            Para todo a, b y c en R.

            (a + b) + c = a + (b + c)

            (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6

            Existencia del idéntico:

            Existe en R un único elemento cero (0), con la propiedad de que para todo a  en R, a + 0 = a y 0 + a = a.

            5 + 0 = 0 + 5 = 5

Existencia de los inversos:

            Para cada a en R, existe un elemento –a en R tal que, a + (-a) = 0

                         (-a) + a = 0

                        5 + (-5) = 0

                        (-5) + 5 = 0

           

            Conmutatividad:

            Para todo a y b en R

            a + b = b + a

            2 + 3 = 3 + 2 = 5

Axiomas de la multiplicación:

            Para todo a y b en R, ab está en R y ab es único.

            El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

Asociativa:

            Para todo a, b y c en R,

            (ab)c = a(bc)

            (2x3)4 = 2(3x4) = 24

           

Existencia del idéntico:

            Existe en R un único elemento 1 (1≠0) con la propiedad de que para todo a en R, tal que 1(a)= a y a(1) = a

            1(5) = 5 y 5(1) = 5

Existencia de los inversos:

            Para cada a en R, excepto 0, existe un elemento     en R tal que (a)   = 1 y      (a) =1

Conmutatividad:

            Para todo a y b en R, tal que ab = ba

El número     se le llama inverso multiplicativo o recíproco de a. Así, el inverso multiplicativo de 4 es     y el de    es 4. Se puede demostrar que el inverso multiplicativo de un número es único.

Axioma distributivo de la multiplicación respecto a la adición.

            a(b + c) = ab + ac

            (b + c)a = ba + ca

Propiedades del orden de los números reales.

            La correspondencia biunívoca que se establece entre los números reales y los puntos de una recta, nos permiten notar otra propiedad fundamental del conjunto de los números reales.

            La existencia de un ordenamiento que se indica con el símbolo < (se lee “es menor que”). Por ejemplo: -1<4, se representa sobre la recta numérica indicando el punto correspondiente a -1 a la izquierda de la gráfica de 4.

Axioma del orden.

Axioma de comparación:

            Para todo a y b en R, una y sólo una delas siguientes proposiciones es verdadera:

            a < b, a = b, b < a

Propiedad transitiva del orden:

            Si a < b y b < c, entonces a < c

            La conjunción “a < b y b < c” frecuentemente se escribe en la forma a < b < c, que se lee “a es menor que b que es menor que c”

Propiedad aditiva del orden:

            Para todo a, b y c en R.

            Si a < b, entonces a + c < b + c

            Este axioma asegura que al sumar el mismo número real a cada miembro de una desigualdad verdadera se obtiene una desigualdad verdadera.

            Un número real c para el cual es verdadera la proposición “0 < c”, se dice que es un número positivo; si “c < 0”, se dice que c es un número negativo.

Propiedad multiplicativa del orden:

            Para todo a y b en R y todos los números positivos c en R.

            Si a < b, entonces ac < bc y ca < cb.

            Este axioma garantiza que al multiplicarse cada miembro de una desigualdad verdadera por un mismo número positivo se obtiene una desigualdad verdadera.

REFERENCIAS.

1.      TORRES NINAHUANCA CARLOS. Números enteros. Estudiante universitario de la facultad de educación, en la especialidad de matemática y física, de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Lima. Perú.

2.      Revista Matemática Digital Mendom@tic@. Sistemas numéricos. Revista No. 18-Abril 2009. Sección Currículum y Matemática. www.mendomatica.mendoza.edu.ar

3.      JARNE GLORIA, MINGUILLON ESPERANZA, ZABAL TRINIDAD. Números Racionales y Números Irracionales. Curso Básico de Matemáticas para Estudiantes de Económicas y Empresariales. Unidad didáctica 4. Números Reales y Números Complejos.

4.      ORTIZ CAMPOS FRANCISCO J. Matemáticas I. Publicaciones Cultural. 2006.

5.      GARZA OLVERA BENGAMIN. Matemáticas I. Aritmética y Álgebra. Colección DGETI.