TERCERA UNIDAD DE APRENDIZAJE

“OPERACIONES ALGEBRAICAS”

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES.

Si tenemos dos o más términos semejantes, pueden simplificarse reuniendo dichos términos en uno sólo. Para ello, basta con sumar sus coeficientes y el resultado obtenido colocarlo como coeficiente de las variables.

EJEMPLO:        

            Aquí vemos que el factor   está en los dos términos del polinomio, por ello recibe el nombre de factor común. Comprobamos así que sacar factor común no es más que una aplicación de la propiedad distributiva.

EJEMPLO:                                                      

                                                                      

                                                                      

                                                                      

           

            Hemos aplicado en este caso las propiedades asociativa y distributiva.

EJEMPLO:                                         

                                                            

                                                            

                                                             

            En este caso se aplico las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON
COEFICIENTES, ENTEROS Y FRACCIONARIOS

SUMA O ADICIÓN.

            Como todos sabemos, la suma o adición es la operación que consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola.

La suma de monomios y polinomios se indica encerrando cada sumando en un paréntesis y enlazando los paréntesis con el signo más.

            Como todo paréntesis precedido del signo más (+) puede suprimirse sin cambiar el signo del término o de los términos que encierra, generalmente se prescinde  de los paréntesis, quedando los términos enlazados por sus signos respectivos. Después se reducen términos  semejantes si los hay.

Para efectuar adiciones con polinomios, se realiza sumando solo términos semejantes, por reducción de términos semejantes.

NOTA: Es conveniente, al realizar las sumas de expresiones algebraicas, subrayar en la misma forma los términos semejantes para evitar confusiones.

En la suma de polinomios, en forma práctica se colocan verticalmente los términos semejantes, es decir, en forma de columna, al igual que en la aritmética, para facilitar la operación.

Por su parte la operación de sustracción, se indica encerrando en paréntesis el minuendo y el sustraendo y separándolos por el signo menos (-).

Cuando los polinomios tienen términos semejantes, es muy conveniente disponer la operación en columna, escribiendo el inverso aditivo del sustraendo debajo del minuendo, de modo que los términos semejantes se correspondan. Después se reducen los términos semejantes.

La suma y resta de monomios con coeficientes fraccionarios se resuelve de la misma manera que con coeficientes enteros.

INTRODUCCIÓN Y SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN.

A veces es necesario representar una expresión de dos o más términos en una sola cantidad, para ello se emplean los signos de agrupación, los cuales nos permiten “encerrar” en un todo los términos dados y representar las operaciones de un modo más fácil y claro.

Los signos de agrupación nos indican que algunas operaciones se deben realizar primero que otras. Para agregar o eliminar signos de agrupación, es necesario tener presente las siguientes reglas:

1.      Los signos de agrupación precedidos del signo (+) pueden agregarse en una expresión o eliminarse de una expresión sin cambiar los signos de la misma.

2.      Los signos de agrupación precedidos del signo (-) pueden agregarse en una expresión o eliminarse de una expresión cambiando los signos de los términos de la expresión.

Por lo general uno o más signos de agrupación están contenidos unos en otros, por lo que se recomienda comenzar a eliminar los signos interiores.

EJEMPLO: Eliminar los símbolos de agrupación y simplificar las siguientes expresiones por reducción de términos semejantes.

LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS.

EXPONENTE: Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si mismo.

            Por ejemplo:

La expresión anterior se llama potencia y se lee “a quinta”.

            La representación general es:

            n-ésima potencia                        

            de a.

PRIMERA LEY: El producto de dos potencias de la misma base (distinta de cero), es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

SEGUNDA LEY: La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero), es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

TERCERA LEY: La potencia de un producto es igual al producto de los dos factores elevados a la misma potencia.

CUARTA LEY: Para elevar una fracción a un exponente, el numerador y el denominador se elevan a dicho exponente.

QUINTA LEY: División de potencias de la misma base distinta de cero.

            El cociente de dos potencias de la misma base presenta tres casos, estos dependen de que el exponente del dividendo sea mayor, igual o menor que el del divisor.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.

Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes (teniendo en cuenta sus signos respectivos) y se escriben seguidamente los factores literales comunes elevados a la suma de exponentes, y los no comunes, con el exponente que tengan.

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se suman los productos que resultan al multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Para facilitar la multiplicación de polinomios es conveniente cuando ello sea posible ordenarlos con respecto a una letra y disponer la operación en la forma siguiente:

1. Se coloca el multiplicando y debajo el multiplicador.
2. Se disponen los diversos productos parciales del multiplicando por cada término del multiplicador, de modo que queden en columna los términos semejantes.

PRODUCTOS NOTABLE.

            Productos que se pueden obtener de manera directa sin llevar a cabo la multiplicación por el procedimiento general.

            Cuadrado de un binomo.

Elevar un binomo al cuadrado significa que el binomio se multiplica por sí mismo.

Los términos a² y b² son siempre positivos por que el cuadrado de un número, positivo o negativo, es siempre positivo. El término de 2ab puede ser positivo siempre que a y b tengan el mismo signo, o negativo cuando tienen signos contrarios.

Estos resultados se pueden expresar de la siguiente forma:

            Es decir, el cuadrado de un binomio es igual a la suma algebraica de cuadrado del primer término más (o menos) el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término.

El resultado del cuadrado de un binomio recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

Binomios conjugados.

Dos binomios son conjugados cuando tienen un término común y los otros dos términos son simétricos.

            Así en:                              a + b y a – b

                                               -2a + 3b y 2a + 3b

                                                  -5r + s y -5r – s

El término común es:

                                                                          a

                                                                         3b

                                                                        -5r

Los simétricos son:

                                                                          b y –b

                                                                       -2a y 2a

                                                                          s y –s

Por tanto:

Es decir, el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. El producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados.

Binomio con un término común.

Sean x + a y x + b dos binomios que tienen un término común x, en los cuales a y b representan términos algebraicos cualesquiera.

Por tanto:  

Es decir, el producto de dos binomios que tienen un término común se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del término común, más el producto de estos dos últimos términos.

            En este producto se puede observar que si a es igual a b, entonces se trata del cuadrado de un binomio obteniéndose un trinomio cuadrado perfecto. Si a y b son simétricos, entonces se obtiene como producto una diferencia de cuadrados.

Cubo de un binomio.

Sea el binomio a + b, donde a y b representan términos algebraicos que pueden ser positivos o negativos

Por tanto:

Es decir, el cubo de un binomio es igual a la suma algebraica del cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

NOTA: el signo + de los términos del producto indica que cada término se considera con el signo que le corresponde de acuerdo con las leyes de los signos para la multiplicación.

Teorema del binomio. Triángulo de Pascal y Binomio de Newton.

La fórmula del binomio nos permite escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio.

Las leyes que siguen en su formación, son las siguientes:

1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de (a + b)ⁿ empieza con aⁿ y termina con bⁿ. En cada término los exponentes de a y b suman n.
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.    
4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

            Otra característica del desarrollo del binomio constituye cierta simetría en los coeficientes de los términos. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de:

n = 0                                                               1

n = 1                                                          1          1

n = 2                                                   1           2           1

n = 3                                            1           3            3           1

n = 4                                       1          4           6           4          1

n = 5                                  1         5          10         10         5          1

n = 6                           1           6          15           20        15          6          1

n = 7                     1           7          21         35          35          21         7          1

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que en cada renglón se observa que el primer y los últimos elementos son 1 porque los coeficientes del primer y el último término son iguales a 1.

            Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentran a su izquierda y su derecha en  renglón superior. Así, para n = 6, el segundo coeficiente, 6, es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y su derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente, 15, se obtiene de la suma de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente.

Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una
suma o diferencia de cubos.

La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos.

Cuadrado de un trinomio.

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos.

División de polinomios.

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

            De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente.

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)= +     (–)÷(–)= +

(+)÷(–)= –      (–)÷(+)= –

            División de un monomio por otro.

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

•       Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor.

•       Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

División de un polinomio por un monomio.

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos.

División de un polinomio por un polinomio.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente

3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.

4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:

a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es divisible entre el primer término del divisor.

b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor.

c) Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor exponente que en el primer término del divisor.

FACTORIZACIÓN.

Factor común.

            Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

Diferencia de cuadrados.

            Aquí tenemos un producto notable (A+B)(A-B) = A² – B² podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados.

Trinomios con término de segundo grado.

            Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

            Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

1. Dos de los términos deben de ser cuadrados A² y B²
2. No debe haber signo de menos en A² o en B²
3. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB o su inverso aditivo -2AB.

Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

A² +2AB+ B² = (A+B)²

A² – 2AB+B² = (A-B)²

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.

Suma y diferencia de cubos.

            Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.

             A³+ B³ =(A+B)(A²-AB+ B²)

             A³- B³ =(A-B)(A²+AB+ B²)

BIBLIOGRAFÍA

1.      ORTIZ CAMPOS FRANCISCO J. Matemáticas I. Publicaciones Cultural. 2006.

2.      GARZA OLVERA BENGAMIN. Matemáticas I. Aritmética y Álgebra. Colección

DGETI.